题目内容

精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知椭圆C:
x2
4
+y2=1

(1)过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN,求MN的长度;
(2)若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点,MN是椭圆C的短轴,直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)(如图),求xE?xF的值;
(3)在(2)的基础上,把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦,其它条件不变,试探究xE?xF是否为定值?(不需要证明);请你给出双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
中相类似的结论,并证明你的结论.
分析:(1) 把右焦点的横坐标 x=
3
代入椭圆C的方程,求得y=±
1
2
,故得 MN=1.
(2)设 P(x0,y0),求出的lMP 方程,令 y=0,则 得xE,同理求得 xF,再根据M,P 在椭圆C上,计算出xE•xF的值.
(3)先判断xE•xF 为定值,再进行证明,先求出xE 和xF的值,再利用M,P 在双曲线上,得到坐标间的关系,代入xE•xF 的表达式进行运算.
解答:解:(1)由条件可知右焦点的坐标为(
3
,0),x=
3
代入椭圆C的方程
x2
4
+y2=1

得y=±
1
2
,所以,MN=1.
(2)设 P(x0,y0),M(0,1),N (0,-1),则 lMP:y-1=
y0-1
x0
 x,
令 y=0,则  xE=
-x0
y0-1
,同理可得:xF=
x0
y0+1
,∴xE•xF=
-x02
y02-1

∵M,P 在椭圆C:
x2
4
+y2=1
 上,∴y02= 1-
x02
4

则 xE•xF=
-x02
(1-
x02
4
)-1
 
=
-x02
1
4
 (-x02 )
=4.
(3)点P是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的垂轴弦,
直线 MP、MN分别交x轴于点E (xE,0)和点F(xF,0),则 xE•xF=a2
点P是双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上不与顶点重合的任意一点,MN是垂直于x轴的垂轴弦,直线MP,
MN分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),则 xE•xF=a2
证明如下:设M(m,n),N(m,-n),P(x0,y0),则 lMP:y-n=
y0-m
x0-m
(x-m)

令 y=0,则  xE=
my0-nx0
y0-n
,同理可得:xF=
my0+nx0
y0+n
,xE•xF=
m2y02-n2x02
y02-n2

∵M,P 在双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
 上,∴n2=b2 (
m2
a2
-1),y02=b2
x02
a2
-1
),
则  xE•xF=
m2b2(
x02
a2
-1)-b2(
m2
a2
-1)x02
b2(
x02
a2
-1)-b2(
m2
a2
-1)
=
b2(x02-m2)
b2
a2
(x02-m2)
=a2
点评:本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用.
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