Question

函数y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，

π

4

]的最大值是

1

2

+

2

．

Answer 1

分析：利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称轴及自变量t的范围，利用二次函数的单调性求出最值．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈[0，

π

4

]，∴x+

π

4

∈[0，

π

2

]，
则0≤t≤

2

，
∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1（0≤t≤

2

），
对称轴t=-1，当0≤t≤

2

时，二次函数为增函数，
∴当t=

2

时，y有最大值

1

2

+

2

．
故答案为：

1

2

+

2

点评：本题考查了同角三角函数间基本关系，正弦函数的定义域及值域，以及二次函数的性质，其中熟练掌握三角函数中平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者的相互转化、以及二次函数的最值的求法是解本题的关键．