Question

过定点P(2，1)作直线l，分别与x轴，y轴的正向交于A、B两点，求使△AOB面积最小时的直线l方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

本题属“条件最值”问题，常见求最值的方法有：判别式法、换元法、均值不等式法． 　　解法一：设所求直线l斜率为k，得点斜式方程为y-1=k(x-2) 　　令x=0，得B点坐标为(0，1-2k) 　　令y=0，得A点坐标为(，0) 　　其中k＜0，2-＞0，1-2k＞0 　　∴　S△AOB= 　　　　　　= 　　　　　　= 　　其中≥ 　　当且仅当，即时，的最小值为4，故S△AOB的最小值为4． 图7-4 　　解法二：过P作x轴，y轴的垂线PM、PN，如图7-4所示，并设q  =∠PAM=∠BPN． 　　S=S□MPNO+S△PAM+S△PBN 　　 = 　　 = 　　≥ 　　故当时 　　即tanq   时，Smin=4 　　解法三：设直线l的方程为 　　因为(常数)，≥ 　　所以≤1，即≤． 　　当且仅当时，有最大值，即ab有最小值8，S△AOB的最小值仍为4， 　　求得a=4，b=2． 　　解法四：设所求直线l的方程为＞(＜0，＞0) 　　因为直线过定点P(2，1) 　　所以，即 　　又因S△AOB= 　　　　　　　　　= 　　　　　　　 　 =[] 　　　　　　　　　≥[] 　　　　　　　 　 =4 　　当且仅当，即时取等号． 　　把=4代入中得=2 　　以上方法均可得到所求直线方程为x+2y-4=0．