Question

【题目】已知函数图象上点处的切线方程与直线平行（其中），.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数在（）上的最小值；

（Ⅲ）对一切， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（I）根据切线方程与直线平行得到切线的斜率为2，即可得到，求出函数的导函数把代入即可求出的值得到函数的解析式；（II）令求出的值为，由函数定义域，所以在和上讨论函数的增减性，分两种情况：当属于得到函数的最小值为；当时，根据函数为单调增得到函数的最小值为，求出值即可；（III）把的解析式代入不等式中解出，然后令，求出时的值，然后在定义域上分区间讨论函数的增减性，求出的最大值， 要大于等于的最大值即为不等数恒成立，即可求出的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由点处的切线方程为直线平行，

得该切线斜率为2，即.

又，令， ，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，显然时， ，当时， ，

所以函数在上单调递减.当时， ，

所以函数在上单调递增.

①时， ；

②时，函数在上单调递增，

因此 ；

所以

（Ⅲ）对一切， 恒成立，

又， ，

即.

设， .

则 ，

由得或， ， ， 单调递增，

， ， 单调递减， ， ， 单调递增，

，且 ，

所以.

因为对一切， 恒成立，

.

故实数的取值范围为.