Question

在直四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B₁B、D₁D、DA的中点．
（1）求证：平面AD₁E∥平面BGF；
（2）求证：平面AEC⊥面AD₁E．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面AD₁E∥平面BGF，只需证直线BF∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E，且BF∩GF=F即可；
（Ⅱ）由AD₁²=D₁E²+AE²得D₁E⊥AE，由AC⊥BD，AC⊥D₁D，得AC⊥平面BD₁；从而得AC⊥D₁E，D₁E⊥平面AEC，即证平面AEC⊥面AD₁E．

解答：证明：如图，
（1）∵E，F分别是棱BB₁，DD₁中点，∴BE∥D₁F且BE=D₁F，
四边形BED₁F为平行四边形，∴D₁E∥BF，
又D₁E?平面AD₁E，BF?平面AD₁E，∴BF∥平面AD₁E；
又G是棱DA的中点，∴GF∥AD₁，
又AD₁?平面AD₁E，GF?平面AD₁E，∴GF∥平面AD₁E；
又BF∩GF=F，
平面AD₁E∥平面BGF；
（2）∵AA₁=2，AD=1，∴AD₁=

5

，
同理AE=

AB2+BE2

=

2

，D₁E=BF=

BD2+DF2

=

3

，
∴AD₁²=D₁E²+AE²，∴D₁E⊥AE；
∵AC⊥BD，AC⊥D₁D，∴AC⊥平面BD₁，又D₁E?平面BD₁，∴AC⊥D₁E，
又AC∩AE=A，AC?平面AEC，AE?平面AEC．所以D₁E⊥平面AEC；
又D₁E?平面AD₁E，∴平面AEC⊥面AD₁E．

点评：本题考查了空间中的平面与平面平行，平面与平面垂直的判定问题，熟练地掌握空间中的平行与垂直关系是解答本题的关键．