题目内容
如图，抛物线
的顶点为坐标原点
，焦点
在
轴上，准线
与圆
相切．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知直线
和抛物线交于点
，命题P：“若直线过定点
，则
”，请判断命题P的真假，并证明。
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）命题P为真命题
【解析】
试题分析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线
的方程为
，
其准线
的方程为
.
∵准线与圆
相切，
∴所以圆心
到直线的距离
，解得
.
故抛物线的方程为:．
（Ⅱ）命题P为真命题
因为直线
和抛物线交于点
且过定点
，所以直线的斜率
一定存在
设直线
，交点
联立抛物线的方程，
得
恒成立
由韦达定理得
，所以命题P为真命题
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；抛物线的标准方程．
点评：本题考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系判断，做题时要认真分析，避免不必要的错误．
练习册系列答案
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如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，-2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为
.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点M为某定点，过点M的动直线l与抛物线相交于P，Q两点，试推断是否存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.
。
的顶点为坐标原点
，焦点
在
轴上，准线
与圆
相切．
在抛物线
，求点
的坐标．