Question

(本小题满分13分)如图，抛物线的顶点在坐标原点，且开口向右，点A，B，C在抛物线上，△ABC的重心F为抛物线的焦点，直线AB的方程为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点M为某定点，过点M的动直线l与抛物线相交于P，Q两点，试推断是否存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  y²＝16x.   (Ⅱ)   

解析:

（Ⅰ）设抛物线方程为，

联立消去x，得                               （2分）

设点，则.

所以.                          （4分）

设点，因为△ABC的重心为，则

，所以.                    （5分）

因为点C在抛物线上，则，解得p＝8，此时.

故抛物线方程为y²＝16x.  （6分）

（Ⅱ）设过定点M的动直线l的方程为，代入抛物线方程y²＝16x，得

，所以. （8分）若以线段PQ为直径的圆经过坐标原点，则，即.所以，即，所以.

因为，所以.（10分）所以直线l的方程为，即，从而直线l必经过定点. （11分）若直线l的斜率不存在，因为直线与抛物线的交点为，此时仍有.故存在定点满足条件. （13分）