题目内容

（2012•荆州模拟）在△ABC中，
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，则|
AB
+
AC
|的最小值为
6
+
2
6
+
2
．
分析：通常情况下求|
AB
+
AC
|即先求|
AB
+
AC
|2而|
AB
+
AC
|2=|
AB
|2+|
AC
|2+2
AB
•
AC
=|
AB
|2+|
AC
|2+2
3
再结合基本不等式|
AB
|2+|
AC
|2≥2|
AB
 ||
AC
|可得|
AB
+
AC
|2≥2|
AB
 ||
AC
|+4
3
故只需求出|
AB
||
AC
|即可这可通过
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°求出．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，
∴|
AB
||
AC
|cos30°=2
3

∴|
AB
||
AC
|=4
∴|
AB
+
AC
|2=|
AB
|2+|
AC
|2+2
AB
•
AC
≥2|
AB
 ||
AC
|+4
3
=8+4
3

 （当且仅当|
AB
|=|
AC
|，|
AB
||
AC
|=4即|
AB
|=|
AC
|=2时取等号）
∴|
AB
+
AC
|≥
8+4
3
=
2(4+2
3
)
=
2(3+2
3
+1)
=
2(
3
+1)2
=
2
(
3
+ 1)=
6
+
2

即|
AB
+
AC
|的最小值为
6
+
2

故答案为
6
+
2
点评：本题主要考察了平面向量数量积、向量模的运算，属常考题，较难．解题的关键是首先将|
AB
+
AC
|的最小值转化为|
AB
+
AC
|2的最小值同时再结合基本不等式|
AB
|2+|
AC
|2≥2|
AB
 ||
AC
|进行求解，而此题中对于
8+4
3
=
2(4+2
3
)
=
2(3+2
3
+1)
=
2(
3
+1)2
=
2
(
3
+ 1)的计算要引起注意！
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5π
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6
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-
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