Question

数列{a_n}满足a₁=2，对于任意的n∈N^*都有a_n＞0,且(n+1)a_n²+a_n·a_n+1－na_n+1²=0，又知数列{b_n}的通项为b_n=2^n－1+1. 

(1)求数列{a_n}的通项a_n及它的前n项和S_n；

(2)求数列{b_n}的前n项和T_n；

(3)猜想S_n与T_n的大小关系，并说明理由.

Answer 1

(1) S_n=n²+n，(2) T_n=2ⁿ+n－1 (3) 猜想当n≥5时，T_n＞S_n，即2ⁿ＞n²+1

解析:

  (1）可解得，从而a_n=2n，有S_n=n²+n，

(2)T_n=2ⁿ+n－1.

(3)T_n－S_n=2ⁿ－n²－1，验证可知，n=1时，T₁=S₁，n=2时T₂＜S₂；n=3时，T₃＜S₃;n=4时，T₄＜S₄；n=5时，T₅＞S₅；n=6时T₆＞S₆

猜想当n≥5时，T_n＞S_n，即2ⁿ＞n²+1

可用数学归纳法证明(略）.