Question

已知函数

.

a

=（

3

sinx，

2

cosx-1），

.

b

=（2cosx，

2

cosx+1），f（x）=

.

a

•

.

b

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，c=

3

，f（C）=1，

m

=（sinA，-1）与

n

=（2，sinB）垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数量积的运算和三角函数的公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ可得函数的单调递增区间；
（Ⅱ）可得f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，进而可得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，由C的范围可得C=

π

3

，再由题意可得，∴2sinA-sinB=0，即2a=b，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=3，联立解得即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

.

a

•

.

b

=2

3

sinxcosx+（

2

cosx-1）（

2

cosx+1）
=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）…（2分）
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ  ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，可解得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜C＜π，∴2C+

π

6

=

π

6

，或

5π

6

，解得C=0（舍）或C=

π

3

…（6分）
又

m

=（sinA，-1）与向量

n

=（2，sinB）垂直，∴2sinA-sinB=0，即2a=b    ①…（8分）
又c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=3           ②…（10分）
由①②解得，a=1，b=2．…（12分）

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角形的正余弦定理的应用，属中档题．