Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A₁B与平面ABD所成角的余弦值

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根据题意找到线面角，进而把此角放入三角形△EBG中，利用解三角形的有关知识（正弦定理与余弦定理）解决问题即可．
解答：连接BG，则BG是BE在面ABD上的所以，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连接EF、FG，
∵D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，
连接DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF²=FG•FD=FD²，
设侧棱AA₁=2a
∴EF=a，∴FD=a
于是ED=a，EG==a，
∵FC=ED=a，
∴AB=2a，A₁B=2a，EB=a．
∴sin∠EBG=
∴cos∠EBG=
∴直线A₁B与平面ABD所成角的余弦值为．
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及解决空间角与空间距离等问题．