Question

选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

Answer 1

【答案】分析：A先根据条件得到DP²=DB•DC；进而得到△BDP∽△PDC即可得到结论；
B 先求出MN，再设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．根据矩阵变换得到即，再代入原函数即可得到结论．
C 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程可得分别表示圆和一条直线，利用点到直线的距离公式可得弦心距，最后结合弦长公式即可得到结论．
D 分情况去绝对值，分别求解即可．
解答：选做题
A．证明：因为PA与圆相切于A，
所以DA²=DB•DC，…（2分）
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP²=DB•DC，即． …（5分）
因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，…（8分）
所以∠DPB=∠DCP．                  …（10分）
B．MN==，…（4分）
设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为（a，b）．
则=，所以即       …（8分）
代入y=sinx得：b=sin2a，即b=2sin2a．
即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x．  …（10分）
C．曲线C的极坐标方程ρ=cos（θ+）=cosθ-sinθ，
化为直角坐标方程为x²+y²-x+y=0，即（x-）²+（y+）²=．…（3分）
直线L：，（t为参数）可化为3x+4y+1=0，…（6分）
圆心到直线的距离d==，…（8分）
弦长L=2=．．…（10分）
D．当x≥4时，2x+1-x+4＜2，解得x＜-3（舍去）；…（3分）
当-≤x＜4时，2x+1+x-4＜2，解得x＜，∴-≤x＜；…（6分）
当x＜-时，-2x-1+x-4＜2，解得x＞-7，∴-7＜x＜-．…（9分）
综上，不等式的解集为（-7，）．…（10分）
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，简单的矩阵运算和绝对值不等式的解法，属于基础题．