Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ．

【解析】试题分析：(1) 求出，由可求出切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；(2)讨论两种情况，当时，显然在上单调递增，至多一个零点，不符合题意，当时，可证明：当时，有两个零点.即的取值范围是.

试题解析：（1）

（2）

①当时，显然在上单调递增；

②当时，令，则，易知其判别式为正，

设方程的两个根分别为，则，

令得，其中，

所以函数在上递增，在上递减.

①当时，显然在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；

②当时，函数在上递增，在上递减，

要使有两个零点，必须，即，

又由得：，代入上面的不等式得：

，解得

下面证明：当时，有两个零点.

，

又，

且，

，

所以在与上各有一个零点.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程、利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.