Question

已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点。
（Ⅰ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅱ）求点C到平面PDB的距离；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

证明：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE                     …………1分
连结AC，由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC ………3分
又∵∴BD⊥平面PAC　
∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE                   ………………5分
解：（Ⅱ）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2.                     " ………………7分
设点C到平面PDB的距离为d，
，    
 , , 
---------------------------10分
(Ⅲ) 解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD="AB " ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D－EA－B的平面角……………… 12分
∵BC⊥DE,   AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中，=="BG"
在△DGB中，由余弦定理得

∴=                               ………………15分
解法２：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：
则,从而………………  11分
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

由法向量的性质可得：，

令，则，
∴                       ………13分
设二面角D－AE－B的平面角为，则
∴                            …………………………………  15分