题目内容

（2012•浦东新区一模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA=
4
5
，a=
6
5
．
（1）当B=
π
3
时，求b的值；
（2）设B=x（0＜x＜
π
2
），求函数f（x）=b+4
3
cos2
x
2
的值域．
分析：（1）△ABC中，先求出sinA的值，再由正弦定理求得b的值．
（2）由正弦定理可得 b=2sinx，代入f（x）=b+4
3
cos2
x
2
 化简为4sin（x+
π
3
）+2
3
，再由0＜x＜
π
2
，求出sin（x+
π
3
） 的范围，即可求得 函数f（x）的值域．
解答：解：（1）△ABC中，由于cosA=
4
5
，故sinA=
3
5
，…（2分）
∴
b
sin
π
3
=
6
5
sinA
=2，b=
3
．…（6分）
（2）由正弦定理可得
b
sinx
=
6
5
sinA
=2，得 b=2sinx，…（7分）
∴f（x）=b+4
3
cos2
x
2
=2sinx+4
3
 cos2 
x
2
=2sinx+2
3
cosx+2
3
=4sin（x+
π
3
）+2
3
．…（11分）
∵0＜x＜
π
2
，∴x+
π
3
∈（
π
3
，
5π
6
），sin（x+
π
3
）∈（
1
2
，1]，…（12分）
∴函数f（x）的值域为 （2+2
3
，4+2
3
]．…（14分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理以及正弦函数的定义域和值域的应用，属于中档题．
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（2012•浦东新区一模）函数y=
log2(x-2) 
的定义域为
[3，+∞）
[3，+∞）
．
（2012•浦东新区一模）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X∈M、∅∈M；
②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为
10
10
．
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1
2
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y=
2
(x-2)
1
2
+2
y=
2
(x-2)
1
2
+2
．
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10
，且（1+2i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线y=x上，求z．
（2012•浦东新区二模）已知z=
1
1+i
，则
.
z
=
1
2
+
1
2
i
1
2
+
1
2
i
．

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