Question

22.设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点.记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

 (1)若C的方程为－y²=1,n=3,点P₁(3，0)及S₃=162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)

 (2)若C的方程为y²=2px(p≠0)，点P₁(0，0),对于给定的自然数n，证明：(x₁+p)²,(x₂+p)²,…,(x_n+p)²成等差数列；

 (3)若C的方程为+=1(a＞b＞0)，点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值.

Answer 1

22. [解] (1)a₁=|OP₁|²=9,由S₃=(a₁+a₃)=162,

得a₃=|OP₃|²=99.

由解得

∴点P₃的坐标可以为(3，3).

(2) 证明：对每个自然数k，1≤k≤n.由题意|OP_k|²=(k－1)d，及

得x_k²+2px_k=(k－1)d,

即(x_k+p)²=p²+(k－1)d.∴(x₁+p²),(x₂+p)²,…,(x_n+p)²是首项为p²,公差为d的等差数列.

(3)[解法一] 原点O到二次曲线C：=1(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a.

∵a₁=|OP₁|²=a²∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n－1)d≥b²,

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,∴S_n=na²+d在［,0)上递增.

故S_n的最小值为na²+×=.

[解法二] 对每个自然数k(2≤k≤n),

由解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

以下与解法一相同.