题目内容

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点，记Sn=a1+a2+…+an.

(1)若C的方程为=1,n=3,点P1(10，0)且S3=255，求点P3的坐标；(只需写出一个)

(2)若C的方程为+=1(a＞b＞0)，点P1(a,0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值.

(1)解：a1=|OP1|2=100,

    由S3=(a1+a3)=255,得

a3=|OP3|2=70.

    由解得

∴点P3的坐标为(2，).

(2)解法一：原点O到二次曲线C:+=1(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a.

∵a1=|OP1|2=a2,

∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+(n-1)d≥b2.

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,

∴Sn=na2+d在［,0］上递增.

    故Sn的最小值为na2+×=.

解法二：对每个自然数k(2≤k≤n),

    由

    解得yk2=.

∵0＜yk2≤b2,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

    以下与解法一相同.

练习册系列答案
相关题目

（04年上海卷理）(18分)

设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.

(1)      若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；

 (只需写出一个)

(2)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；

. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.

（04年上海卷文）(18分)

设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.

(1)      若C的方程为－y2=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；

 (只需写出一个)

(2)      若C的方程为y2=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：

(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2成等差数列；

(3)      若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值.

      

 

 

 
22.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.

 (1)若C的方程为－y2=1,n=3,点P1(3，0)及S3=162，求点P3的坐标；(只需写出一个)

 (2)若C的方程为y2=2px(p≠0)，点P1(0，0),对于给定的自然数n，证明：(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xn+p)2成等差数列；

 (3)若C的方程为+=1(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值.

22.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+…+an.

(1)若C的方程为+=1,n=3,点P1(10，0)且S3=255，求点P3的坐标；(只需写出一个)

(2)若C的方程为+=1(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；

(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…，Pn存在的充要条件，并说明理由.

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网