Question

如图，点A（- a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

 

Answer 1

解：（1）由B（，），C（0，1），得直线BC方程为．

    令y = 0，得x = -2，∴a = 2．                               

    将B（，）代入椭圆方程，得．∴b² = 2．

    椭圆方程为．                                 

（2）① 当PQ与x轴垂直时，PQ = ；                     

② 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y = kx + 1（k≥0），

代入椭圆方程x² + 2y² - 4 = 0，得x² + 2(kx + 1)² - 4 = 0．

即 (2k² + 1) x² + 4kx - 2 = 0．                                  

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则 ．

则 | x₁ - x₂ | = ．PQ = ．          

=．                                     

∵，在k =时取等号，              

∴PQ² = Î（8，9]．则PQÎ．      

由①，②得PQ的取值范围是．