Question

如图，点A、B、C都在幂函数y=x

1

2

的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）
（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；
（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论

Answer 1

分析：（1）间接法求f（a），利用f（a）=S_△AB'C  =S_梯形AA'C'C  -S_△AA'B'-S_△CC'B'求出f（a）的值，直接法求g（a）=

1

2

 AC•BB′．
（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）-g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．

解答：解：（1）连接AA′、BB′、CC′，
则f（a）=S_△AB'C  =S_梯形AA'C'C  -S_△AA'B'-S_△CC'B'
=

1

2

(AA′+CC′)×2-

1

2

AA′-

1

2

CC′=

1

2

(AA′+CC′)=

1

2

（

a

+

a+2

），
g（a）=S_△A′BC′=

1

2

 AC•BB′=BB′=

a+1

，
(2)f(a)-g(a)=

1

2

(

a

+

a+2

-2

a+1

) 
=

1

2

[(

a+2

-

a+1

)-(

a+1

-

a

)]=

1

2

(

1

a+2 + a+1

-

1

a+1 + a

)＜0，
∴f（a）＜g（a），

点评：本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想．