题目内容
已知A(3,0)及双曲线E:
-
=1,若双曲线E的右支上的点Q到点B(m,0)(m≥3)距离的最小值为|AB|.?(1)求m的取值范围,并指出当m变化时点B的轨迹G.
(2)轨迹G上是否存在一点D,它在直线y=
x上的射影为P,使得
·
=
·
?若存在,试指出双曲线E的右焦点F分向量
所成的比；若不存在,请说明理由.
(3)当m为定值时,过轨迹G上的点B(m,0)作一条直线l与双曲线E的右支交于不同的两点,且与直线y=
x,y=-
x分别交于M,N两点,求△MON周长的最小值.
解:(1)设M(x,y),则x≥3且y2=
x2-16,
那么点M到点B的距离d=
=.?
设f(x)=d2,则f(x)=(x-)2+M2-16(x≥3). ?
当≤3即M≤时,f(x)是［3,+∞)上的增函数,所以当x=3时,f(x)取最小值M-3=|AB|;
当＞3即M＞时,f()=
＜m-3. ?
由上述可得,当且仅当3≤M≤
时,M到B的距离为|AB|.?
所以点B的轨迹是一条线段AN,其中N(
,0),即轨迹G为线段AN. ?
(2)设存在D,令P(3T,4T),则D(
T,0),?
于是
=(3T-3,4T), 
=(
T,0),?
∴
·
=25T2-25T.?
又
·
=0, ∴25T2-25T=0.?
∴T=0或T=1. ?
当T=0时,D为(0,0)不满足题意;?
当T=1时,D为(
,0)在轨迹G上,?
∴存在D满足题意.此时D(
,0),F(5,0),?
有
=(2,0),
=(
,0),
=
.?
从而F分
所成的比为λ=
. ?
(3)设M(3s,4s),N(3T,-4T),?
因为直线l与双曲线E的右支有两个交点,所以s＞0,T＞0.?
由M,B,N共线知
=
,即
=
. ?
而
(s+T)=(
)(s+T)=2+
≥2+2
=4.?
所以s+T≥
,当且仅当s=T=
时取等号. ?
△OMN的周长L=|OM|+|ON|+|MN|=5s+5T+
?
=5(s+T)+
?
≥9(s+T)≥
所以,当s=T=
时,△OMN的周长最小为
)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．