Question

已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式
（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）由        ①
得        ②           1分
由②—①，得  
即：                  2分
由于数列各项均为正数，
                                  3分
即 数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式是            4分
（Ⅱ）由知，
所以，                        5分
有，即， 6分
而，
故是以为首项，公比为2的等比数列.                  7分
所以                                              8分
（Ⅲ），                 9分
所以数列的前n项和 
错位相减可得                         12分
点评：中档题，确定数列通项公式，往往利用已知条件，建立相关“元素”的方程组，达到解题目的。 本题利用前n项和与提醒的关系，确定数列的通项公式，也是较为常见的题型。“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”是高考常常考查的数列求和方法。本题对运算能力要求较高。