Question

如图，在五面体ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=，CD=AD=2，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，
求：（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离；
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）平面EFCD，
∴AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，
过点A作AG⊥FD于G，
因，AB∥DC，故CD⊥AD；
又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，，
故，
所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离。
在Rt△ABC中，，
由FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
从而在Rt△FAD中，，
∴，
即直线AB到平面EFCD的距离为。
（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA⊥AD，
又由，
知AD⊥AB，
故AD⊥平面ABFE，
∴DA⊥AE，
所以，∠FAE为二面角F-AD-E的平面角，记为θ，
在，
由，
从而，
在，
故，
所以二面角F-AD-E的平面角的正切值为。