Question

如图，在五面体ABCDE中，平面BCD⊥平面ABC，DC=DB=

3

，AC=BC=2ED=2，AC⊥BC，且ED∥AC    
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC
（2）在线段BC上有一点F，且BF=

1

2

，求二面角F-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC中点O，AB中点M，连接DO、OM、EM，可证出四边形DOME是平行四边形，得EM∥DO．接下来可以证明EM⊥平面ABC，结合EM?平面ABE，可得平面ABE⊥平面ABC；
（2）以O为原点，分别以OM、OB、OD所在直线为x、y、z轴，建立如图坐标系，得出图中各点的坐标，得

FA

=（2，-

3

2

，0），

AE

=（-1，1，

2

），利用垂直向量数量积为0建立方程组，解之算出平面FAE的法向量为

n

=（1，-

4

3

，-

2

6

）．最后结合

CM

=(1，1，0)为平面ABE的法向量，利用空间两个向量的夹角公式加以计算，即可算出二面角F-AE-B的余弦值．

解答：解：（1）取BC中点O，AB中点M，连接DO、OM、EM
∵DO是等腰△BCD底边上的中线，∴DO⊥BC
∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，DO?平面BCD
∴DO⊥平面ABC，
∵OM是△ABC的中位线，∴OM∥AC且OM=

1

2

AC
∵ED∥AC且ED=

1

2

AC，∴OM∥ED，得四边形DOME是平行四边形
∴EM∥DO，结合DO⊥平面ABC，得EM⊥平面ABC，
∵EM?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC
（2）以O为原点，分别以OM、OB、OD所在直线为x、y、z轴，建立如图坐标系，
可得B（0，1，0），F（0，

1

2

，0），C（0，-1，0），A（2，-1，0）
D（0，0，

2

），E（1，0，

2

），M（1，0，0）
∴

FA

=（2，-

3

2

，0），

AE

=（-1，1，

2

）
设平面FAE的一个法向量为

n

=(x，y，z)
由

n • FA =0 n • AE =0

得

2x- 3 2 y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令x=1，得

y= 4 3 z=- 2 6

，∴

n

=(1，

4

3

，-

2

6

)
又∵

CM

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

BE

=(1，-1，

2

)，

CM • AB =0 CM • BE =0

∴

CM

=(1，1，0)为平面ABE的一个法向量
得cos＜

n

，

CM

＞=

n • CM

|n| • |CM|

=

1×1+ 4 3 ×1+(- 2 6 )×0

51 18 × 2

=

7 51

51

，
又∵二面角F-AE-B为为锐二面角，
∴二面角F-AE-B的余弦值为

7 51

51

…（12分）

点评：本题给特殊四棱锥，求证面面垂直并求锐二面角的余弦之值，着重考查了平面与平面垂直的判定、空间坐标系的建立和二面角的平面角及求法等知识，属于中档题．