Question

（本小题满分12分）
已知函数。
（Ⅰ）求函数的定义域，并判断的单调性；
（Ⅱ）若；
（Ⅲ）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

Answer 1

（Ⅰ）
当
（Ⅱ）
（Ⅲ）时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为
当时，的极大值为

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
（Ⅰ）由题意知
当

当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.
所以
（Ⅲ）
令
①      当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值
②      当时，有两个实根
当x变化时，、的变化情况如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

的极大值为，的极小值为
③      当时，在定义域内有一个实根， 
同上可得的极大值为
综上所述，时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为
当时，的极大值为