题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，
是
的中点.
（1）求异面直线
与
所成角的大小；
（2）若直三棱柱的体积为
，求四棱锥
的体积.
【答案】（1）
；（2）
；
【解析】
（1）以
为坐标原点，以
，
，
为
，
，
轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线
与
的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线与所成角的大小；
（2）连接
．由
，由已知中，
是
的中点，
面
，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到
，
，进而根据线面垂直的判定定理，得到
面
，故即为四棱锥
的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（1）以为坐标原点，以，，为
轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设
．
依题意，可得点的坐标
，
于是
，由
，
则异面直线与所成角的大小为．
（2）连接．由，是的中点，得；
由面，
面，得．
又
，因此面，
由直三棱柱
的体积为
．可得
．
所以，四棱锥的体积为
．
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