题目内容
【题目】如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交线段AB、AC于点P、Q两点，设
，
，记
.
（1）求
的值；
（2）求函数的解析式（指明定义域）；
（3）设
，
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）4；（2）
，
；（3）
.
【解析】
（1）表示出向量
，根据
、
、
三点共线，得到关于
，
的等式，
（2）解出即
的解析式；
（3）分别根据，
的单调性，求出，的值域，结合集合的包含关系得到关于
的不等式组，解出即可．
解：（1）
过点的直线分别交两边
、
于、，
，
，
又
，
，
，
又
、、三点共线，
，
（2）由（1）知
，
由
得
，
，
，
，
；
（3）
在
，内是减函数，
，
，
即函数的值域为，，
，
在
，内是增函数，
，
，
的值域为
，
，
由题设得，
，，
则
解得的取值范围是
，
，
．
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