Question

1．在平面直角坐标系xOy中，直线L与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4．
（1）证明直线L必过一定点，并求出该定点．
（2）求线段AB的中点P的轨迹方程．
（3）求三角形AOB面积最小时，直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
（2）假设线段中点坐标，利用中点坐标公式，寻找坐标之间的关系即可求得．
（3）求出AB，原点到直线l的距离，可得面积，即可求出三角形AOB面积最小时，直线AB的方程．

解答 （1）证明：设l：x=ty+b，代入抛物线方程y²=4x中得，y²-4ty-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b，…（2分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）+{y_1}{y_2}$
=${t^2}{y_1}{y_2}+t（{y_1}+{y_2}）++{y_1}{y_2}=-4b{t^2}+4b{t^2}+{b^2}-4b={b^2}-4b$，
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，b=2，
∴直线l过定点（2，0），∴若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，则直线l必过一定点…（5分）
（2）解：设P（x，y）由（1）得：y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4bb=2
得x₁+x₂=4t²+4，∴x=2t²+2，y=2t 
消去t得P点的轨迹方程为：y²=2x-2…（8分）
（3）解：AB=$4\sqrt{{k^2}+2}\sqrt{1+{k^2}}$，原点到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$（式子中k为t）
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=4\sqrt{{k^2}+2}≥4\sqrt{2}$
当k=0时，三角形AOB面的最小，最小值是$4\sqrt{2}$…（12分）．

点评 本题主要考查向量的数量积的运算，考查轨迹方程的求解，利用了代入法，属于中档题．