Question

如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥

.

1

2

AD，BE

∥

.

1

2

AF
（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；
（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A-ED-B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC

∥

.

1

2

AD得

GB

GA

=

GC

GD

=

BC

AD

=

1

2

延长FE交AB的延长线于G′
同理可得

G′E

G′F

=

G′B

G′A

=

BE

AF

=

1

2

故

G′B

G′A

=

GB

GA

，即G与G′重合
因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．
（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2
取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF
故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直．
所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN
由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A-ED-B的平面角．BM=

2

2

，MN=

1

2

•

AD×AE

DE

=

3

3

故tan∠BMN=

BM

MN

=

6

2

所以二面角A-ED-B的大小arctan

6

2

点评：此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．