Question

如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．AD=AB=2BC，四边形ABEF为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）C、D、E、F四点共面吗？证明你的结论；
（Ⅱ）设AF=kAB（0＜k＜1），二面角A-FD-B的余弦值为

1

3

，求实数k的值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）C、D、E、F四点不共面．利用反证法进行证明；
（Ⅱ）作MT⊥FD于T，连接BT，则由三垂线逆定理可知BT⊥FD，所以∠MTB就是所求二面角的平面角，从而可求得结论；
解法二：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立右手直角坐标系（Ⅰ）若C、D、E、F四点共面，则存在实数λ，μ使得

DE

=λ

DF

+μ

DC

，确定所得方程组无解即可；
（Ⅱ）确定

DC

平面AFD的一个法向量，求出平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

解答：解法一：
（Ⅰ）C、D、E、F四点不共面．
证明：假设C、D、E、F四点共面．
因为EF∥AB，AB⊆平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，
因为EF⊆平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，所以EF∥CD，
又EF∥AB，所以AB∥CD，这与已知矛盾．
所以假设不成立，因此C、D、E、F四点不共面．------（6分）
（Ⅱ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，且AF⊥AB，所以AF⊥平面ABCD，
所以平面AFD⊥平面ABCD．
△ABD为正三角形，连接BM，则BM⊥AD，所以BM⊥平面ADF．
作MT⊥FD于T，连接BT，则由三垂线逆定理可知BT⊥FD，所以∠MTB就是所求二面角的平面角．---------（9分）
不妨设AB=2，则BM=

3

．
由于cos∠MTB=

1

3

，所以tan∠MTB=2

2

，所以MT=

6

4

．
由△DMT∽△DFA，可得

AF

MT

=

FD

MD

=

AF2+AD2

MD

，解得AF=

2 15

5

，所以k=

AF

AB

=

15

5

．--------（14分）
解法二：以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立右手直角坐标系．不妨设AB=2，则AF=2k．
所以D（0，0，0），C(

3

，0，0)，B(

3

，1，0)，A（0，2，0），F（0，2，2k），E(

3

，1，2k)．--------（3分）
（Ⅰ）若C、D、E、F四点共面，则存在实数λ，μ使得

DE

=λ

DF

+μ

DC

，即

3 = 3 μ 1=2λ 2k=2kλ

，λ，μ无解，
因此C、D、E、F四点不共面．--------（6分）
（Ⅱ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，且AF⊥AB，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥DC，又因为AD⊥DC，所以DC⊥平面AFD，所以

DC

平面AFD的一个法向量．
设平面BDF的法向量为

n

=（x，y，z），则有

n • DF =0 n • DB =0

，
即

2y+2kz=0 3 x+y=0

，则可以得到其中的一个法向量为

n

=(1，-

3

，

3

k

)．
由因为二面角A-FD-B的余弦值为

1

3

，所以

| n • DC|

| n |•| DC |

=

1

3

，解得k=

15

5

．----------------（14分）

点评：本题考查四点共面，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．