Question

设函数f(x)=

　　讨论：(1)n取何值时，f(x)在x=0处连续？

　　(2)n取何值时，f(x)在x=0处可导？

　　(3)n取何值时，f′(x)在x=0处连续？

 

Answer 1

答案：
解析：

解：要使函数f(x)在点x0处连续，需使f(x)=f(x0)；要使函数f(x)在点x0处可导，要使极限存在。要紧扣函数的连续与可导这两个定义。 　　 (1)当n为任意整数时，均有xn·sin=0=f(0)， 　　  ∴ 对于n取任意正整数，f(x)均在x=0处连续。 　　 (2)考查极限：=xn-1sin，此极限当n-1＞0时存在，因此n≥2时，f(x)在x=0处可导，此时，f′(0)=0。 　　 (3)当x0时， 　　  f′(x)=nxn-1·sin+xncos·=n·nn-1sin-xn-2 Cos。 　　  要使f′(x)=0=f′(0)， 　　  只要n-2＞0。   ∴ n≥3使f′(x)在x=0处连续。