Question

已知函数f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx（x∈[a，b]，a＜b）的值域为[-

1

2

，1]，设b-a的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）

• A、

  π

  2

• B、π
• C、2π
• D、

  10π

  3

Answer 1

分析：化简函数f（x）的解析式为sin（x-

π

3

），由题意结合函数的图象求得 b-a最小值m，以及b-a的最大值M，即可
求得M+m的值．

解答：解：函数f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin（x-

π

3

），由于x∈[a，b]，a＜b）时，函数f（x）的值域为[-

1

2

，1]，
故当a-

π

3

=2kπ-

π

6

，且b-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z时，b-a最小为m=

2π

3

．
故当a-

π

3

=2kπ-

π

6

，且b-

π

3

=2kπ+π+

π

6

，k∈z时，b-a最大为M=

4π

3

．
故M+m=2π，
故选 C．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质应用，求得m和M的值，是解题的关键，属于中档题．