Question

△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinA+sinC的最大值为（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可得A+C=

2π

3

，原式=sinA+sin（

2π

3

-A），由三角函数的运算公式可得原式=

3

sin（A+

π

6

），由A∈（0，

2π

3

），可得式子的取值范围，可得最大值．

解答：解：由题意可得2B=A+C，又A+B+C=π
故B=

π

3

，故A+C=

2π

3

，
故sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=

3

sin（A+

π

6

），
又A∈（0，

2π

3

），所以A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
故sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，

3

sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，

3

]，
故sinA+sinC的最大值为

3

，
故选B

点评：本题考查三角函数的最值的求解，涉及等差数列的性质，属中档题．