Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

分析：（I）已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1(x∈R)对其进行化简，根据整体代入法求三角函数的单调区间；
（II）由于三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b，a，c成等差数列，根f（A）=

1

2

，求出∠A的值，再由已知条件

AB

•

AC

=9，求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
故f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（II）在△ABC中，由f（A）=

1

2

，可得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

或

5

6

π，解得A=

π

3

，（A=0舍去），
∴A=

π

3

，
由

AB

•

AC

=9
得bccosA=9，

1

2

bc=9，bc=18
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
于是a²=4a²-54，a²=18，a=3

2

点评：此题主要考查利用导数求三角函数的单调区间，第二问考查了正弦定理，向量的内积问题，这都是高考的热点问题．