题目内容

在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB，
BA
•
BC
=6，求sinB及△ABC的面积．
分析：由a，b及c成等比数列，根据等比数列的性质列出关系式，可得出b不是最大边，然后利用正弦定理化简已知的等式，左边再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinB不为0，等式两边同时除以sinB，可得出sinB的值，由b不是最大边，可得出B不为最大角，即B为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用平面向量的数量积运算法则化简
BA
•
BC
=6，将cosB的值代入求出ca的值，再由ca，以及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，即b不是最大边，
∵acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB，
∴sinAcosC+cosAsinC=
4
7
7
sin2B，即sin（A+C）=
4
7
7
sin2B，
∴sinB=
4
7
7
sin2B，
∵sinB≠0，∴sinB=
7
4
，
∵b不是最大边，∴B为锐角，
∴cosB=
1-sin2B
=
3
4
，
由
BA
•
BC
=cacosB=6，
∴ca=8，
则S△ABC=
1
2
casinB=
7
．
点评：此题考查了正弦定理，等比数列的性质，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
3
sin2ω+2cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期为2π．
（1）当x∈R时，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知f（A）=1，a=2
7
，sinB=2sinC，求△ABC的面积S．
在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b-c）cosA=acosC
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若|
AC
-
AB
|=1，求△ABC周长l的取值范围．
已知函数f(x)=sin(
7π
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求函数f（x）的周期及单调递增区间；
（II）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(A，
1
2
)经过函数f（x）的图象，b，a，c成等差数列，且
AB
•
AC
=9，求a的值．
在△ABC中，三内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，b=
3
，则△ABC的外接圆半径为 （　　）
在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量
m
=(b-c，c-a)，
n
=(b， c+a)，若向量
m
⊥
n
，则角A的大小为（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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