Question

在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．
（1）若c=

6

，A=45°，a=2，求C、b；
（2）若4a²=b²+c²+2bc，sin²A=sinB•sinC，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由正弦定理 求出sinC的值，可得C的值，由三角形内角和公式可得到B的值，利用两角和的正弦求出sinB的值，再由正弦定理求出b．
（2）由sin²A=sinB•sinC，可得 a²=bc，根据4a²=b²+c²+2bc，可得b=c，故△ABC为等腰三角形．

解答：解：（1）△ABC中，由正弦定理可得

2

2 2

=

6

sinC

，∴sinC=

3

2

，∴C=60°，∴B=75°．
∴sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6 + 2

4

．
再由正弦定理可得

2

2 2

=

b

sin75°

=

b

6 + 2 4

，∴b=

3

+1．
（2）∵sin²A=sinB•sinC，∴a²=bc，
又4a²=b²+c²+2bc，∴（b-c）²=0，
∴b=c，故△ABC为等腰三角形．

点评：本题考查正弦定理的应用，两角和的正弦公式，判断三角形的形状的方法，是一道中档题．