Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A、C的坐标分别是A（-2，3），C（2，1）．
（1）求以线段AC为直径的圆E的方程；
（2）若B点的坐标为（-2，-2），求直线BC截圆E所得的弦长．

Answer 1

分析：（1）帧设条件可以得出，E点恰好是线段AC的中点，坐标易求得是E（0，2）由两点间距离公式求出直径，即可得到圆的半径，求出圆的标准方程即可．
（2）由于已知B，C两点的坐标，故其方程易求，本题采取几何法求弦长，先计算出弦心距，再利用弦心距、弦的一半、半径三者组成的直角三角形求出弦长的一半，则弦长易得．

解答：解：（1）解：AC的中点E（0，2）即为圆心
半径r=

1

2

|AC|=

1

2

42+22

=

5

所以圆E的方程为x²+（y-2）²=5．
（2）直线BC的斜率为

3

4

，BC的方程为y-1=

3

4

(x-2)，即3x-4y-2=0
点E到直线BC的距离为d=

|-8-2|

5

=2．
所以BC截圆E所得的弦长为2

5-22

=2．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，求解本题的关键是利用利用弦心距、弦的一半、半径三者组成的直角三角形求出弦长的一半，与几何有关的问题一定要注意利用其本身固有的几何特征帮助解题．