Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，焦距为2c，且2a²=3c，双曲线 上一点P满足

PF1

•

PF2

=2（F₁、F₂为左右焦点），则|

PF1

|•|

PF2

|=

4

．

Answer 1

分析：根据双曲线的离心率为

2 3

3

，得到可得a=

3

2

c，从而b=

1

2

c，再根据2a²=3c，联解关于a、c的式子，得到a=

3

，b=1，c=2，从而得到双曲线方程为

x2

3

-y2=1．接下来根据双曲线的定义，得到

|PF1|

-

|PF2|

=±2

3

，结合

PF1

•

PF2

=2，在三角形PF₁F₂中利用余弦定理，联解关于

|PF1|

•

|PF2|

的等式，可得

|PF1|

•

|PF2|

=4．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，
∴

c

a

=

2 3

3

，可得a=

3

2

c，从而b=

c2- a2

=

1

2

c
又∵2a²=3c，即2（

3

2

c）²=3c，
∴c=2，a=

3

，b=1，可得双曲线方程为

x2

3

-y2=1
∵点P在双曲线上，∴根据双曲线的定义，得

|PF1|

-

|PF2|

=±2

3

因此（

|PF1|

-

|PF2|

）²=12，即

|PF1|

²-2

|PF1|

•

|PF2|

+

|PF2|

²=12…①
∵

PF1

•

PF2

=

|PF1|•

|PF2|

cosP=2
∴cosP=

2

|PF1| |PF2|

=

|PF1| 2+ |PF2| 2- |F1F2| 2

2 |PF1| • |PF2|

结合

|F1F2|

=2c=4，化简整理得：即

|PF1|

²+

|PF2|

²=20，代入①，可得

|PF1|

•

|PF2|

=4
故答案为：4

点评：本题给出双曲线上一点对两个焦点构成的向量的数量积，要求两个向量模的积，着重考查了向量在几何中的应用与双曲线的定义与简单几何性质等知识点，属于中档题．