Question

设f（x）=sin（x-sinx），x∈R．关于f（x）有以下结论：
①f（x）是奇函数；  
②f（x）的值域是[0，1]；  
③f（x）是周期函数；
④x=π是函数y=f（x）图象的一条对称轴；  
⑤f（x）在[0，π]上是增函数．
其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据已知求出f（-x）的解析式，并分析它是否与f（x）相等，结合函数奇偶性的定义可判断①的真假，
根据内函数的值域为R，结合正弦函数的性质可判断②的真假；
求出f（x+2π）的解析式，并分析它是否与f（x）相等，结合函数周期性的定义可判断③的真假，
求出f（π+x）与f（π-x）的解析式，并分析它们是否相等，结合函数对称性的定义可判断④的真假，
求出函数的导函数，分析导函数的符号，可判断⑤的真假．
解答：解：∵f（x）=sin（x-sinx），
∴f（-x）=sin[-x-sin（-x）]=sin（-x+sinx）=sin[-（x-sinx）]=-sin（x-sinx）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即①正确；
令u=x-sinx，则u∈R，则f（x）∈[-1，1]，即f（x）的值域是[-1，1]，即②错误；  
f（x+2π）=sin[x+2π-sin（x+2π）]=sin（x+2π-sinx）=sin（x-sinx）=f（x），故f（x）是周期函数，即③正确；
∵f（π+x）=sin[π+x-sin（π+x）]=sin（π+x+sinx）=-sin（x+sinx）；f（π-x）=sin[π-x-sin（π-x）]=sin（π-x-sinx）=sin（x+sinx），故（π，0）是y=f（x）图象的一个对称中心，故④错误；
∵f′（x）=cos（x-sinx）（1-cosx），当x∈（，π）时，f′（x）＜0，函数为减函数，故⑤错误；
故答案为：①③
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，周期性，对称性，单调性，复合函数等，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．