Question

已知函数f（x）=e^x（x²-2ax-2a）．
（Ⅰ）设当x=2时为函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）若g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)，讨论关于x的方程f（x）=g（x）的实数根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据x=2时，函数f（x）取得极值，可得f′（2）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）由f（x）=g（x）进行转化，构造函数，利用导数判断函数的极大值和极小值，根据极值的大小关系即可判断方程实根的个数．

解答： 解：（Ⅰ）函数f′（x）=e^x（x²-2ax-2a）+e^x（2x-2a）
=e^x（x²-2ax+2x-4a）=e^x（x+2）（x-2a）．
∵x=2时，函数f（x）取得极值，
∴f′（2）=0，
∴a=1；
（Ⅱ）∵g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)，
∴若f（x）=g（x），
则g(x)=ex(-

1

3

x3+x2-6a)=e^x（x²-2ax-2a）．
即-

1

3

x³+x²-6a=x²-2ax-2a．
即

1

3

x³-2ax+4a=0，
设g（x）=

1

3

x³-2ax+4a，
则g′（x）=x²-2a，
若a≤0，此时函数g（x）单调递增，则g（x）=

1

3

x³-2ax+4a只有一个零点，即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为1个，
若a＞0，由g′（x）=x²-2a=0，得x=±

2a

，
此时函数的极小值为g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

），
极大值为g（-

2a

）═a（4+

4 2a

3

），
∵a＞0，∴极大值为g（-

2a

）=a（4+

4 2a

3

）＞0，
①若极小值为g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）＞0，即0＜a＜

9

2

，此时方程

1

3

x³-2ax+4a=0只有一个根，
即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为1个．
②若极小值为g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）=0，即a=

9

2

，此时方程

1

3

x³-2ax+4a=0有2个根，
即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为2个．
③若极小值为g（

2a

）=a（4-

4 2a

3

）＜0，即a＞

9

2

，此时方程

1

3

x³-2ax+4a=0有3个根，
即方程f（x）=g（x）的实数根的个数为3个．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用函数极值符号判断方程根的个数问题，综合性较强，有一定的难度．