Question

【题目】已知函数 ， 问
（1）求 f x 的单调区间（2）设曲线 y = f x 与 x 轴正半轴的交点为,曲线在点 P 处的切线方程为 y = ,求证:对于任意的正实数 x ,都有 ∈
（1）求的单调区间
（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为 ,求证:对于任意的正实数 ,都有 ;
（3）若方程（为实数）有两个正实数根 且 ,求证: .

Answer 1

【答案】
（1）

函数的单调递增区间是，单调递减区间是

（2）

见解答

（3）

【解析】1.由 ， 可得 ， 当 ， 即时，函数单调递增，当 ， 即时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是 ， 单调递减区间是
2.设 ， 则 ， 曲线在点处的切线方程为 ， 即 ， 令即则 ， 由于在单调递减,故在单调递减,又因为 ,所以当时, ,所以当时, 所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数, ,对于任意的正实数 ,都有
3.由小题2知 ， 设方程的根为 ， 可得 ， 因为在单调递减，又由小题2知 ， 所以 ， 类似的，设曲线在原点处的切线为 ， 可得 ， 对任意的 ， 有即 ， 设方程的根为 ， 可得 ， 因为在单调递增，且 ， 因此 ，
所以。
【考点精析】认真审题，首先需要了解导数的几何意义(通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即)．