Question

（本小题满分14分）如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．
PD=1，PC=，PD⊥BC。

（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

Answer 1

（1）见解析；（2）60°.

(I)证明本小题的关键是证是直角三角形，即.
又从而问题得证.
(II)解本小题关键是作出二面角的平面角，过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
证明就是二面角A－PB－D的平面角即可。
（Ⅰ）证明:,
．……2分
又,……4分
∴ PD⊥面ABCD………6分
（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,

过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD,∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB,
∵,
∴,从而,
故就是二面角A－PB－D的平面角．…………10分
∵ PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵,   ∴,………………12分
 ∴ ．
故二面角A－PB－D的大小为60°．…………………14分
（也可用向量解）