Question

设函数f（x）与g（x）的定义域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f(x)+g(x)=

1

x-1

．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）指出f（x）的单调增减区间并证明．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，列出方程组，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）通过导数，判断函数的单调性，指出f（x）的单调增减区间．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），且g（-x）=-g（x）
而f(x)+g(x)=

1

x-1

，…①
得f(-x)+g(-x)=

1

-x-1

，
即f(x)-g(x)=

1

-x-1

=-

1

x+1

，…②
解①②得f(x)=

1

x2-1

，g(x)=

x

x2-1

．
（2）f(x)=

1

x2-1

，所以f′(x)=

-2x

(x2-1)2

，
令f′（x）＜0，即

-2x

(x2-1)2

＜0，解得x＞0，
函数的定义域为：x∈R且x≠±1，
所以函数f(x)=

1

x2-1

在（0，1），（1，+∞）是减函数；
因为函数是偶函数，
所以在（-∞，-1），（-1，0）是增函数．

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的对数的应用，单调区间的求法，考查计算能力．