Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意计算可得.则椭圆的标准方程为.

(2)假设存在点满足条件，设其坐标为，设， ，分类讨论：

当斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有： ， .则.满足题意时有： .解得.此时.验证可得当斜率不存在时也满足，

则存在满足条件的点，其坐标为.此时的值为.

试题解析：

（1）由题意知， .

又当时， .

∴.

则.

∴椭圆的标准方程为.

（2）假设存在点满足条件，

设其坐标为，设， ，

当斜率存在时，设方程为，

联立 ， 恒成立.

∴， .

∴， .

∴

.

当为定值时， .

∴.

此时.

当斜率不存在时，

， ， .

， ，

.

∴存在满足条件的点，其坐标为.

此时的值为.