Question

【题目】已知函数， （为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；

（Ⅲ）当时， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到， ，根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数进行单调性的研究，分， ， ,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。

解析：

（Ⅰ）当时， .， .

所以函数在点处的切线方程为.

（Ⅱ）函数的定义域为，由已知得.

①当时，函数只有一个零点；

②当，因为，

当时， ；当时， .

所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又， ，

因为，所以， 所以，所以

取，显然且

所以， .

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.

③当时，由，得，或.

当，则.当变化时， ， 变化情况如下表：

注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.

当，则， 在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.

若，则.当变化时， ， 变化情况如下表：

注意到当， 时， ， ，所以函数至多有一个零点，不符合题意.

综上， 的取值范围是.

（Ⅲ）当时， ，

即,令，则

令，则

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增

又， ，所以，当时， ，即，

所以单调递减；当时， ，即，

所以单调递增，所以，所以．