Question

设函数，是定义域为的奇函数．
（Ⅰ）求的值，判断并证明当时，函数在上的单调性；
（Ⅱ）已知，函数，求的值域；
（Ⅲ）已知，若对于时恒成立.请求出最大的整数．

Answer 1

（Ⅰ），在R上为增函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整数为10.

试题分析：（Ⅰ）由奇函数的性质得，由单调性的定义证明 在R上是增函数；
（Ⅱ）由可得，，由换元法令，将函数转化为二次函数求最值；（Ⅲ）时，原式可化为，令，由分离参数的方法得到，进而得到的取值范围.本题中用到换元法，换元之后应特别注意变元的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）是定义域为R上的奇函数，，得．
，，即是R上的奇函数 2分
设，则，
，，，在R上为增函数 5分
（Ⅱ），即，或（舍去）
则，令，
由（1）可知该函数在区间上为增函数，则
则           8分
当时，；当时，
所以的值域为            10分
（Ⅲ）由题意，即，在时恒成立
令，则
则恒成立
即为恒成立          13分
，恒成立，当时，
，则的最大整数为10           16分