Question

已知函数

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值；

(Ⅱ)求证：对于任意正整数n，均有(e为自然对数的底数)；

(Ⅲ)当a＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y＝f(x)的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由题意．……1分

　　当时，函数的定义域为，

　　此时函数在上是减函数，在上是增函数，

　　，无最大值．……3分

　　当时，函数的定义域为，

　　此时函数在上是减函数，在上是增函数，

　　，无最大值．……5分

　　(Ⅱ)取，由⑴知，

　　故，

　　取，则．……9分

　　(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，

　　∴切线方程：，将点坐标代入得：

　　，即，①

　　设，则．……12分

　　，

　　在区间，上是增函数，在区间上是减函数，

　　故．

　　又，

　　注意到在其定义域上的单调性，知仅在内有且仅有一根

　　方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．……14分