Question

（08年华师一附中二次压轴理）已知函数，

(Ⅰ)求此函数的单调区间及最值；

(Ⅱ)求证：对于任意正整数n，均有；

       (Ⅲ)当a=1时，过点(1，是否存在函数y=f(x)的图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由

Answer 1

解析：(Ⅰ)∵f(x)=lnax－=lnax－1+，∴f′(x)= －= 

(1)当a＞0时，定义域={x|x＞0}，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，

∴f(x)在(0，1)上是单调减函数，在(1,+∞)上是单调增函数，

进而[f(x)]_min=f(1)=lna

(2)当a＜0时，定义域{x|x＜0}，∴在定义域内恒有f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，无最值.  

(Ⅱ)取a=1，由(Ⅰ)知f(x)=lnx－的最小值为0，∴lnx－≥0，∴≥1－lnx，∴1+++…+≥n－(ln1+ln2+…+lnn)=n－lnn!=ln 

(3)设切线存在，且切点为T(x₀，lnx₀－)，∴切线方程为y+1=(－)(x－1)

∵切点为T(x₀，lnx₀－)，∴lnx₀－+1=(－)( x₀－1)

∴lnx₀+－－1=0                                             ①

设h(x)=lnx+－－1，∴h′(x)=－+=，∵x＞0，∴h(x)在(0，1)，(2，+∞)内递增，在(1，2)内递减.

∴[h(x)]_极大值=h(1)=1＞0，[h(x)]_极小值=h(2)=ln2+＞0

又h(x)=－∞，h(x)=+∞

∴方程①有且只有一个解，故有且只有一条