Question

【题目】如图，在四棱锥中，，平分，平面，，点在上，.

（1）求证：平面；

（2）若，,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

（2）.

【解析】

（1）先根据平面得，再根据已知，得平面，即得，另一方面根据计算得，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果.

（1）证明：因为平面，所以，

又因为，，所以平面

所以

作交于点，则平面，

在中，，，设

则

易证

因为，则

所以，即，

所以平面.

（2）如图所示，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系

因为垂直平分，所以为直角三角形的斜边上的中线

所以

因为，，由，得

，

设平面的一个法向量为，

则即得，取，则，

由（1）可知为平面的一个法向量，

所以

由图可知，所求二面角为锐角

所以所求二面角的余弦值为.