Question

【题目】已知函数（其中）在点处的切线斜率为1.

（1）用表示；

（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（2）的前提下，如果，证明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（III）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意即得；

（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立，得，再证当时， 即可；

（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增， 即可证得.

试题解析：

（1），由题意

（2）在定义域上恒成立，即。

解法一： 恒成立，则。

当时， ，

令得（注意）

所以时， 单调递减；当时， 单调递增。

所以，符合题意。

综上所述， 对定义域内的恒成立时，实数的取值范围是。

解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得

对恒成立，

令，则。

这里先证明，记，则，

易得在上单调递增，在上单调递减， ，所以。

因此， ，且时，

所以，实数的取值范围是。

（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，

当时，不妨设，要证明，等价于，

只需要证明，这里，

令

，求导得

.

注意当时， ， ，（可由基本不等式推出）又

因此可得，当且仅当时等号成立。

所以在上单调递增， ，也即，

因此，此时都在单调递增区间上，

所以，得