Question

【题目】已知等差数列与数列满足，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，的前n项的和分别为，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）令，可由求出，进而求出，得到等差数列的通项公式，于是有，构造数列，设，可变形得到，求出，即可得数列的通项公式．其它解法参考解析；

（2）要证，即证，根据的表达式可知其关于单调递增，即证，再通过放缩法即可证出，多种放缩方式见解析．

（1）令有，所以，即，所以，即．由得，

设，则，可得，

又，故，则．

解法2：由，有，（），相减得

，（），

则，，……，，

相加得，则，（），

当时上式也成立．

又得，故．

解法3：由构造等比也可以．

（2）只需证．

由（1）有，所以，记为，

而，所以单调递增，

有

只需证．

证法1：∵

故

．

证法2：

又

则

所以．

证法3：∵，

∴

．